jueves, 23 de septiembre de 2010

"Paradojas de Zenon"

¿Que es una paradoja?

Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento (física). Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible.
Desde el punto de vista estrictamente lógico y matemático, y sin considerar sus aspectos filosóficos, las aporías o sofismas de Zenón pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Esto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.

"Aquiles y la Tortuga"

Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

Réplica a la paradoja:

Una interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, propone que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga,[1] ya que, como demostró el matemático escocés James Gregory (1638-1675), una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.
Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un intervalo finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.
Otra forma de encarar el problema es huyendo del análisis infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides -el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon- no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.
Lo que sí es seguro que la solución no puede salir de una argumentación distinta a la original, sino del estudio del enunciado original, lugar en el que se encuentra el error, mal entendido, o paradoja.
Video de: Zenon, Aquiles y la Tortuga.

"La Dicotomia"


Esta paradoja, conocida como argumento o paradoja de la dicotomía, es una variante de la anterior.
Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.
Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.
Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.
La paradoja de la piedra puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.
Como introducción al concepto de serie, se muestran un par de series sencillas y luego se aplica esa formulación a la paradoja de Zenón.
Para sumar todos los números desde 1 a infinito:
\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...
Para sumar todos los números al cuadrado desde 1 a infinito:
\sum_{n=1}^\infty n^2 = 1 + (2)^2 + (3)^2 + (4)^2 + (5)^2 + ...  = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ...
Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:
\sum_{n=1}^\infty {1 \over 2^n} = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + {1 \over 32} + ...
La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:
Suma = {a \over 1 - r}
En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es 1 \over 2 y «r» es la razón de incremento (producto), que es 1 \over 2. Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:
Suma = {1/2 \over 1 - 1/2} = {1/2 \over 1/2} = 1
Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.
Video de: Paradoja de la Dicotomia
"La Paradoja de la Flecha"

En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.
Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.
Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en un lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerada. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

"La paradoja del Estadio"
A se mueve en una carrera en una sierta direcci´on yC se meve en la misma direcci´on pero en sentido opuesto yB que permanece inmovil describeA y C en la siguiente forma:T , A y C se desplazaron una distancia m´ınima. Ahora bien, A y C describen el movimiento de B de la siguienteB se desplaz´o en el tiempo m´ınimo T la distancia m´ınima D.C y C tampoco puede entenderA, en efecto C respecto de A se mueve dos veces laD en el tiempo m´ınimo T, lo cual es absurdo, porqueD.C

(tiempo y espacio finitamente divisibles)

Un atleta
otro atleta
con igual velocidad. Un tercer atleta
el movimiento de
En el tiempo m´ınimo

D
forma:
A no puede entender el movimiento de
el movimiento de
distancia m´ınima
no hubo tiempo para recorrer la distancia
En consecuencia no es posible que el tiempo y el espacio sean finitamente
divisibles, pues de lo contrario el movimiento relativo no existir´ıa, y
como todo movimiento es relativo, no existir´ıa entonces el movimiento.
A
B
C

A

B


Por los problemas planteados a traves de sus paradojas, Zenon es considerado
como uno de los precursores de las matematicas del infinito,
con ellas afloran varios problemas cruciales para la matematica: El de
lo infinitesimal, el del infinito, el de la continuidad, el del movimiento
y otros mas, los cuales han sido tratados posteriormente por muy destacados
matem´aticos, siendo uno de los primeros Karl Weierstrass en
el siglo XIX, modernamente por Abraham Robinson (de la Universidad
de Yale) en la decada del sesenta del siglo XX, y por otros como
Bolzano, Cauchy, Dedekind y Cantor en el siglo XIX. Aunque los argumentos
de Zenon pueden ser interpretados como argumentos contra


el movimiento, tambien es posible interpretarlos como argumentos en
contra de la concepcion analıtica del espacio y del tiempo; es decir los
argumentos de Zenon estarıan senalando que no es posible representar
el espacio como constituıdo por puntos yuxtapuestos y el tiempo como
constituido de instantes sucesivos.
Los planteamientos de Zenon tuvieron grandes consecuencias en el desarrollo
del pensamiento matematico entre ellos el evitar utilizar representaciones
matematicas para interpretar el mundo f´ısico, especialmente
el movimiento. Esta separacion se mantuvo hasta la obra fundamental
de Galileo que fue precedida 18 siglos por Arquımedes. Tal
alejamiento entre matematicas y mundo real fue uno de los principales
factores que condujeron al estancamiento de la matematica en la Edad
Media.

Nombre de los integrantes:
Zuly Yamilett Dzul Maldonado.
Natalia Mendoza Caña.
Consuelo Gomez Palma.
Michelle Cruz Montes.
5"H"

34 comentarios:

  1. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderEliminar
  2. Falta que se justifique el texto y la informacion pues si es entendible.

    Las formulas que pusiste¿ Para que finalidad las pusiste?

    Gabriel A. Ortega Zavala

    ResponderEliminar
  3. Hola pues el blog esta muy bien aunque algunas palabras se pierden con el fondo o no se si soy yo ;P pero esta muy bien tu blog y una pregunta

    Podrias explicar la paradoja de la dicotomia ?

    y para que sirven esas formulas que pusiste ?

    ResponderEliminar
  4. Muy buenos los videos, y la informacion bien hecha, solo en algunos hipervinculos no c alcanza a leer bn el color pero no importa.

    ¿Segun zenon por que no llegaria la piedra al arbol?

    Roberto Cachón Aguirre 5"G" \m/

    ResponderEliminar
  5. esta bonito su fondo, solo que parte de la informacion no es muy visible, y les falto justificacion..

    ¿me podrianexplicar lo de las formulas?

    Jennifer Larissa Hidalgo Vazquez 5°"G"

    ResponderEliminar
  6. Bonito formato, pero algunas partes son un poco difíciles de leer, de resto todo muy bonito (:

    Mi pregunta para ustedes es
    ¿Cuál es la paradoja que consideran más importante y por qué? :)


    Yolanda P. Quintal Gamboa 5to G (:

    ResponderEliminar
  7. Falto justificar y quitarle hipervinculos a tu informacion la informacion se entiene de bien pero las formulas no ayudan mucho ya que no tiene un explicacion un poco mas detalladas

    ¿Como podrias explicarlas?

    Mariana Sarahi Benitez Coj 5G

    ResponderEliminar
  8. hola la informacio esta bien el fondo tambien como dicen los demas les falto justificado

    ¿son creibles estas paradojas en la actualidad?¿por que?

    ResponderEliminar
  9. LES FALTO ALGO DE JUSTIFICACION AL TEXTO
    ME GUSTO MUCHO EL FONDO
    Y QUITARLE LOS HIPERVINCULOS
    YA LO DEMAS ESTA MUY BIEN :D

    Las aporías de Zenón en que se basan?

    miguel muñoz maldonado

    ResponderEliminar
  10. solo les hace falta justificar la informacion y quitarle los links para que se vea mejor. =)

    Definanme con sus palabras ¿Què es una paradoja?

    ResponderEliminar
  11. esta bien su infoermaicon y su blog ya que le pusieron imagenes

    me podrian xplicar sobree las sumas que aprecn ahi mas detalladamente y on sus palbras

    ResponderEliminar
  12. hace justificar el texto y pues de lo demas esta bien la verdad y amm estubo bien el diseño ahi bizarro xD

    -explica las formulas q pusiste en la paradoja dicotomia,,,

    Josue Jaisiel Carrillo Ake

    ResponderEliminar
  13. esta muy bien tu blog me gusta muy completa tu informacion.
    ¿entendiste las formulas de la paradoja dicotomia?

    ayla morales torres

    ResponderEliminar
  14. en algunas partes no es posible distinguir bien lo que dice, el justificado tambien falto

    ¿cual es la finalidad de las paradojas de zenon?

    5 "G"

    ResponderEliminar
  15. Hola, les sugiero que justifiquen su texto para que se vea más presentable.

    ¿Quién fue Zenón?

    Jesús Valdiviezo Mora

    ResponderEliminar
  16. bueno sta chido tu blog........:)
    aunk algunas palabras se pierden no se entienden muy bien por q estan juntas y no se distingue muy bien

    bueno dime o explicame la paradoja del estadio? con tus palabras

    ResponderEliminar
  17. Su informacion esta muy bien, solo falta justificar ok

    -¿Me explicas las formulas de la dicotomia?

    ResponderEliminar
  18. hey hey chicas su blog esta padre , y tiene un buen contenidoo solo quitenle los hipervinculos no?? jajaja,
    ¿ que opinan del estadio?

    ResponderEliminar
  19. Muy bonito, muy bonito, esta muy completo su trabajo y por consecuencia les hare una pregunata facil.

    ¿cual de las paradojas te gusta mas?

    ResponderEliminar
  20. Roberto Cachón Aguirre
    tengo entendido que la piedra no llegara ya que es una distancia infinita... ya que cuando le falten o.ooooooooooo9 iraa.. disminuyendo peroo nunca llegara xq los numeros son infitos

    ResponderEliminar
  21. Yolanda P. Quintal Gamboa
    en mi punto de vista seria la paradija de aquiles por quee en algo es cierta si tu estas en cero.. y otra persona en uno por mas que tu quieras avanzar rapido i llegarlo siempre estara un paso mas adelante de tu.. en como alguien de primero y otro de tercero el de primero por mas que quiera no podria llega a tercero sin que el de tercero ya haya crusado a quinto...

    ResponderEliminar
  22. Joaquin Rodriguez Solis
    pues a mi mee gusta mas la de aquiles y la tortuga.
    atte: Zuly

    ResponderEliminar
  23. misheyla culebro ;)
    la finalidad de zenon creo que era explicar que el movimiento no existia sino que era solo una sensacion de nosotros mismos.

    ResponderEliminar
  24. el fondo del blog me llamo la atencion (: esta curioso bueno en cuanto a la informacion, pues creo que esta bien a mi me gusto su blog.

    ¿Me pueden explicar que es en sí una paradoja?

    5"G"

    ResponderEliminar
  25. una paradoja es en otras palabras, es una proposición en apariencia verdadera que conlleva a una contradicción lógica o a una situación que infringe el sentido común. En retórica, es una figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción;La paradoja es un poderoso estímulo para la reflexión y así mismo los filósofos a menudo se sirven de las paradojas para revelar la complejidad de la realidad

    ResponderEliminar
  26. Fue un filósofo griego nacido en Elea perteneciente a la escuela eleática (¿490-430 a. C.?). Fue discípulo directo de Parménides de Elea y se le recuerda por el amplio arsenal conceptual con que defendió las tesis de su maestro. No estableció ni conformó ninguna doctrina positiva de su propia mano, en tanto que todo lo que defiende lo toma de Parménides, sino que se limitó a atacar todo planteamiento que no parta de las tesis eleáticas.natalia mendoza

    ResponderEliminar
  27. Natalia Hdez

    Una paradoja es como una idea opuesta a lo que se considera verdadero o a la opinión general.... ;)

    atte: consuelo

    ResponderEliminar
  28. la formulas de la dicotomia la primera es para sumar todos los numeros desde 1 hasta el infinito la sigiuente son de numeros al cuadrado hasta el infinito y por ultimo la de a/1-r por ejemplo a es el numero que se calculara el uno se queda como base y "r" es el incremente osea repites el numero de base y ya como el ejemplo de de 1/2 es =a y abajo es 1-1/2 xq "r" es igual a a y te da 1. en si lo que quiere hacer la formula es sacar mitad de la mitad todo tiene mitad. at natalia mendoza

    ResponderEliminar
  29. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

    ResponderEliminar
  30. Joaquin Rodriguez Solis 5 "G"

    Ami me gusto mas la paradoja de Aquiles y la tortuga ;)

    atte: consuelo

    ResponderEliminar
  31. bno la paradoja del estadio se refiere que entre dos objetos que se desplazan a la misma velocidad, uno recorrerá el doble de distancia que el otro.
    atte : consuelo

    ResponderEliminar
  32. bueno la paradoja del estadio es como por ejemplo en un estadio dos personas van a darle la vuelta exactamente la misma distancia en un minimo tiempo pero en sentido opuestos otro va a calcular el tiempo explicando que ellos recorrieron distancia minima y el tiempo minimo en si la persona uno recorrio el doble de distancia ala persona 2 pero no es asi por que no hubo tiempo ya que los 2 recorieron lo mismo en el mismo tiempo

    ResponderEliminar
  33. qiere decir el tiempo y el esapcio no son finitamente divisibles de lo contrario el movimiento relativo no existiria y como todo movimiento es relativo entonces dicho asi no existiria. movimiento relativo es:es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos.

    ResponderEliminar