¿Que es una paradoja?
Las paradojas de Zenón son una serie de paradojas o aporías, ideadas por Zenón de Elea, para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento (física). Racionalmente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, porque primero debe llegar a la mitad de éste, antes a la mitad de la mitad, pero antes aún debería recorrer la mitad de la mitad de la mitad y así eternamente hasta el infinito. De este modo, teóricamente, una persona no puede recorrer un estadio de longitud, aunque los sentidos muestran que sí es posible.Desde el punto de vista estrictamente lógico y matemático, y sin considerar sus aspectos filosóficos, las aporías o sofismas de Zenón pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Esto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.
"Aquiles y la Tortuga"
Réplica a la paradoja:
Una interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, propone que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga,[1] ya que, como demostró el matemático escocés James Gregory (1638-1675), una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un intervalo finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga.
Otra forma de encarar el problema es huyendo del análisis infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides -el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon- no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe.
Lo que sí es seguro que la solución no puede salir de una argumentación distinta a la original, sino del estudio del enunciado original, lugar en el que se encuentra el error, mal entendido, o paradoja.
Video de: Zenon, Aquiles y la Tortuga."La Dicotomia"
Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.
Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.
La paradoja de la piedra puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no.
Como introducción al concepto de serie, se muestran un par de series sencillas y luego se aplica esa formulación a la paradoja de Zenón.
Para sumar todos los números desde 1 a infinito:
Para sumar todos los números al cuadrado desde 1 a infinito:
Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:
La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:
Suma = 
En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es 
y «r» es la razón de incremento (producto), que es . Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:
y «r» es la razón de incremento (producto), que es . Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:Suma = 
Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de «algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo. Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera. Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer toda la distancia.Video de: Paradoja de la Dicotomia
"La Paradoja de la Flecha"
En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.
Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en un lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerada. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.
"La paradoja del Estadio"
A se mueve en una carrera en una sierta direcci´on yC se meve en la misma direcci´on pero en sentido opuesto yB que permanece inmovil describeA y C en la siguiente forma:T , A y C se desplazaron una distancia m´ınima. Ahora bien, A y C describen el movimiento de B de la siguienteB se desplaz´o en el tiempo m´ınimo T la distancia m´ınima D.C y C tampoco puede entenderA, en efecto C respecto de A se mueve dos veces laD en el tiempo m´ınimo T, lo cual es absurdo, porqueD.←C
(tiempo y espacio finitamente divisibles)Un atleta
otro atleta
con igual velocidad. Un tercer atleta
el movimiento de
En el tiempo m´ınimo
D
forma:
A no puede entender el movimiento de
el movimiento de
distancia m´ınima
no hubo tiempo para recorrer la distancia
En consecuencia no es posible que el tiempo y el espacio sean finitamente
divisibles, pues de lo contrario el movimiento relativo no existir´ıa, y
como todo movimiento es relativo, no existir´ıa entonces el movimiento.
A
B
C
A
B
→
Por los problemas planteados a traves de sus paradojas, Zenon es considerado
como uno de los precursores de las matematicas del infinito,
con ellas afloran varios problemas cruciales para la matematica: El de
lo infinitesimal, el del infinito, el de la continuidad, el del movimiento
y otros mas, los cuales han sido tratados posteriormente por muy destacados
matem´aticos, siendo uno de los primeros Karl Weierstrass en
el siglo XIX, modernamente por Abraham Robinson (de la Universidad
de Yale) en la decada del sesenta del siglo XX, y por otros como
Bolzano, Cauchy, Dedekind y Cantor en el siglo XIX. Aunque los argumentos
de Zenon pueden ser interpretados como argumentos contra
el movimiento, tambien es posible interpretarlos como argumentos en
contra de la concepcion analıtica del espacio y del tiempo; es decir los
argumentos de Zenon estarıan senalando que no es posible representar
el espacio como constituıdo por puntos yuxtapuestos y el tiempo como
constituido de instantes sucesivos.
Los planteamientos de Zenon tuvieron grandes consecuencias en el desarrollo
del pensamiento matematico entre ellos el evitar utilizar representaciones
matematicas para interpretar el mundo f´ısico, especialmente
el movimiento. Esta separacion se mantuvo hasta la obra fundamental
de Galileo que fue precedida 18 siglos por Arquımedes. Tal
alejamiento entre matematicas y mundo real fue uno de los principales
factores que condujeron al estancamiento de la matematica en la Edad
Media.Nombre de los integrantes:
Zuly Yamilett Dzul Maldonado.
Natalia Mendoza Caña.
Consuelo Gomez Palma.
Michelle Cruz Montes.
5"H"
